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11.9   計數排序

計數排序（counting sort）透過統計元素數量來實現排序，通常應用於整數陣列。

11.9.1   簡單實現

先來看一個簡單的例子。給定一個長度為 \(n\) 的陣列 nums ，其中的元素都是“非負整數”，計數排序的整體流程如圖 11-16 所示。

  1. 走訪陣列，找出其中的最大數字，記為 \(m\) ，然後建立一個長度為 \(m + 1\) 的輔助陣列 counter 。
  2. 藉助 counter 統計 nums 中各數字的出現次數，其中 counter[num] 對應數字 num 的出現次數。統計方法很簡單，只需走訪 nums（設當前數字為 num），每輪將 counter[num] 增加 \(1\) 即可。
  3. 由於 counter 的各個索引天然有序，因此相當於所有數字已經排序好了。接下來，我們走訪 counter ，根據各數字出現次數從小到大的順序填入 nums 即可。

計數排序流程

圖 11-16   計數排序流程

程式碼如下所示：

counting_sort.py
def counting_sort_naive(nums: list[int]):
    """計數排序"""
    # 簡單實現，無法用於排序物件
    # 1. 統計陣列最大元素 m
    m = 0
    for num in nums:
        m = max(m, num)
    # 2. 統計各數字的出現次數
    # counter[num] 代表 num 的出現次數
    counter = [0] * (m + 1)
    for num in nums:
        counter[num] += 1
    # 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    i = 0
    for num in range(m + 1):
        for _ in range(counter[num]):
            nums[i] = num
            i += 1
counting_sort.cpp
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
void countingSortNaive(vector<int> &nums) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.java
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
void countingSortNaive(int[] nums) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    int[] counter = new int[m + 1];
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.cs
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
void CountingSortNaive(int[] nums) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    int m = 0;
    foreach (int num in nums) {
        m = Math.Max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    int[] counter = new int[m + 1];
    foreach (int num in nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.go
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
func countingSortNaive(nums []int) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    m := 0
    for _, num := range nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    counter := make([]int, m+1)
    for _, num := range nums {
        counter[num]++
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    for i, num := 0, 0; num < m+1; num++ {
        for j := 0; j < counter[num]; j++ {
            nums[i] = num
            i++
        }
    }
}
counting_sort.swift
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
func countingSortNaive(nums: inout [Int]) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    let m = nums.max()!
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    var counter = Array(repeating: 0, count: m + 1)
    for num in nums {
        counter[num] += 1
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    var i = 0
    for num in 0 ..< m + 1 {
        for _ in 0 ..< counter[num] {
            nums[i] = num
            i += 1
        }
    }
}
counting_sort.js
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
function countingSortNaive(nums) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    const counter = new Array(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    let i = 0;
    for (let num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (let j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.ts
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
function countingSortNaive(nums: number[]): void {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    const counter: number[] = new Array<number>(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    let i = 0;
    for (let num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (let j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.dart
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
void countingSortNaive(List<int> nums) {
  // 1. 統計陣列最大元素 m
  int m = 0;
  for (int _num in nums) {
    m = max(m, _num);
  }
  // 2. 統計各數字的出現次數
  // counter[_num] 代表 _num 的出現次數
  List<int> counter = List.filled(m + 1, 0);
  for (int _num in nums) {
    counter[_num]++;
  }
  // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
  int i = 0;
  for (int _num = 0; _num < m + 1; _num++) {
    for (int j = 0; j < counter[_num]; j++, i++) {
      nums[i] = _num;
    }
  }
}
counting_sort.rs
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
fn counting_sort_naive(nums: &mut [i32]) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    let m = *nums.iter().max().unwrap();
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    let mut counter = vec![0; m as usize + 1];
    for &num in nums.iter() {
        counter[num as usize] += 1;
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    let mut i = 0;
    for num in 0..m + 1 {
        for _ in 0..counter[num as usize] {
            nums[i] = num;
            i += 1;
        }
    }
}
counting_sort.c
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
void countingSortNaive(int nums[], int size) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    int m = 0;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (nums[i] > m) {
            m = nums[i];
        }
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    int *counter = calloc(m + 1, sizeof(int));
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        counter[nums[i]]++;
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
    // 4. 釋放記憶體
    free(counter);
}
counting_sort.kt
/* 計數排序 */
// 簡單實現，無法用於排序物件
fun countingSortNaive(nums: IntArray) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    var m = 0
    for (num in nums) {
        m = max(m, num)
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    val counter = IntArray(m + 1)
    for (num in nums) {
        counter[num]++
    }
    // 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
    var i = 0
    for (num in 0..<m + 1) {
        var j = 0
        while (j < counter[num]) {
            nums[i] = num
            j++
            i++
        }
    }
}
counting_sort.rb
### 計數排序 ###
def counting_sort_naive(nums)
  # 簡單實現，無法用於排序物件
  # 1. 統計陣列最大元素 m
  m = 0
  nums.each { |num| m = [m, num].max }
  # 2. 統計各數字的出現次數
  # counter[num] 代表 num 的出現次數
  counter = Array.new(m + 1, 0)
  nums.each { |num| counter[num] += 1 }
  # 3. 走訪 counter ，將各元素填入原陣列 nums
  i = 0
  for num in 0...(m + 1)
    (0...counter[num]).each do
      nums[i] = num
      i += 1
    end
  end
end
counting_sort.zig
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
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計數排序與桶排序的關聯

從桶排序的角度看，我們可以將計數排序中的計數陣列 counter 的每個索引視為一個桶，將統計數量的過程看作將各個元素分配到對應的桶中。本質上，計數排序是桶排序在整型資料下的一個特例。

11.9.2   完整實現

細心的讀者可能發現了，如果輸入資料是物件，上述步驟 3. 就失效了。假設輸入資料是商品物件，我們想按照商品價格（類別的成員變數）對商品進行排序，而上述演算法只能給出價格的排序結果。

那麼如何才能得到原資料的排序結果呢？我們首先計算 counter 的“前綴和”。顧名思義，索引 i 處的前綴和 prefix[i] 等於陣列前 i 個元素之和：

\[ \text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]} \]

前綴和具有明確的意義，prefix[num] - 1 代表元素 num 在結果陣列 res 中最後一次出現的索引。這個資訊非常關鍵，因為它告訴我們各個元素應該出現在結果陣列的哪個位置。接下來，我們倒序走訪原陣列 nums 的每個元素 num ，在每輪迭代中執行以下兩步。

  1. 將 num 填入陣列 res 的索引 prefix[num] - 1 處。
  2. 令前綴和 prefix[num] 減小 \(1\) ，從而得到下次放置 num 的索引。

走訪完成後，陣列 res 中就是排序好的結果，最後使用 res 覆蓋原陣列 nums 即可。圖 11-17 展示了完整的計數排序流程。

計數排序步驟

counting_sort_step2

counting_sort_step3

counting_sort_step4

counting_sort_step5

counting_sort_step6

counting_sort_step7

counting_sort_step8

圖 11-17   計數排序步驟

計數排序的實現程式碼如下所示：

counting_sort.py
def counting_sort(nums: list[int]):
    """計數排序"""
    # 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
    # 1. 統計陣列最大元素 m
    m = max(nums)
    # 2. 統計各數字的出現次數
    # counter[num] 代表 num 的出現次數
    counter = [0] * (m + 1)
    for num in nums:
        counter[num] += 1
    # 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    # 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for i in range(m):
        counter[i + 1] += counter[i]
    # 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    # 初始化陣列 res 用於記錄結果
    n = len(nums)
    res = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        num = nums[i]
        res[counter[num] - 1] = num  # 將 num 放置到對應索引處
        counter[num] -= 1  # 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    # 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    for i in range(n):
        nums[i] = res[i]
counting_sort.cpp
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
void countingSort(vector<int> &nums) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    int n = nums.size();
    vector<int> res(n);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 將 num 放置到對應索引處
        counter[num]--;              // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    nums = res;
}
counting_sort.java
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
void countingSort(int[] nums) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    int[] counter = new int[m + 1];
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    int n = nums.length;
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 將 num 放置到對應索引處
        counter[num]--; // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}
counting_sort.cs
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
void CountingSort(int[] nums) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    int m = 0;
    foreach (int num in nums) {
        m = Math.Max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    int[] counter = new int[m + 1];
    foreach (int num in nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    int n = nums.Length;
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 將 num 放置到對應索引處
        counter[num]--; // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}
counting_sort.go
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
func countingSort(nums []int) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    m := 0
    for _, num := range nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    counter := make([]int, m+1)
    for _, num := range nums {
        counter[num]++
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for i := 0; i < m; i++ {
        counter[i+1] += counter[i]
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    n := len(nums)
    res := make([]int, n)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        num := nums[i]
        // 將 num 放置到對應索引處
        res[counter[num]-1] = num
        // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
        counter[num]--
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    copy(nums, res)
}
counting_sort.swift
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
func countingSort(nums: inout [Int]) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    let m = nums.max()!
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    var counter = Array(repeating: 0, count: m + 1)
    for num in nums {
        counter[num] += 1
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for i in 0 ..< m {
        counter[i + 1] += counter[i]
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    var res = Array(repeating: 0, count: nums.count)
    for i in nums.indices.reversed() {
        let num = nums[i]
        res[counter[num] - 1] = num // 將 num 放置到對應索引處
        counter[num] -= 1 // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    for i in nums.indices {
        nums[i] = res[i]
    }
}
counting_sort.js
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
function countingSort(nums) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    const counter = new Array(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    const n = nums.length;
    const res = new Array(n);
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        const num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 將 num 放置到對應索引處
        counter[num]--; // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}
counting_sort.ts
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
function countingSort(nums: number[]): void {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    const counter: number[] = new Array<number>(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    const n = nums.length;
    const res: number[] = new Array<number>(n);
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        const num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 將 num 放置到對應索引處
        counter[num]--; // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}
counting_sort.dart
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
void countingSort(List<int> nums) {
  // 1. 統計陣列最大元素 m
  int m = 0;
  for (int _num in nums) {
    m = max(m, _num);
  }
  // 2. 統計各數字的出現次數
  // counter[_num] 代表 _num 的出現次數
  List<int> counter = List.filled(m + 1, 0);
  for (int _num in nums) {
    counter[_num]++;
  }
  // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
  // 即 counter[_num]-1 是 _num 在 res 中最後一次出現的索引
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    counter[i + 1] += counter[i];
  }
  // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
  // 初始化陣列 res 用於記錄結果
  int n = nums.length;
  List<int> res = List.filled(n, 0);
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    int _num = nums[i];
    res[counter[_num] - 1] = _num; // 將 _num 放置到對應索引處
    counter[_num]--; // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 _num 的索引
  }
  // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
  nums.setAll(0, res);
}
counting_sort.rs
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
fn counting_sort(nums: &mut [i32]) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    let m = *nums.iter().max().unwrap() as usize;
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    let mut counter = vec![0; m + 1];
    for &num in nums.iter() {
        counter[num as usize] += 1;
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for i in 0..m {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    let n = nums.len();
    let mut res = vec![0; n];
    for i in (0..n).rev() {
        let num = nums[i];
        res[counter[num as usize] - 1] = num; // 將 num 放置到對應索引處
        counter[num as usize] -= 1; // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    nums.copy_from_slice(&res)
}
counting_sort.c
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
void countingSort(int nums[], int size) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    int m = 0;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (nums[i] > m) {
            m = nums[i];
        }
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    int *counter = calloc(m, sizeof(int));
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        counter[nums[i]]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    int *res = malloc(sizeof(int) * size);
    for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 將 num 放置到對應索引處
        counter[num]--;              // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    memcpy(nums, res, size * sizeof(int));
    // 5. 釋放記憶體
    free(res);
    free(counter);
}
counting_sort.kt
/* 計數排序 */
// 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
fun countingSort(nums: IntArray) {
    // 1. 統計陣列最大元素 m
    var m = 0
    for (num in nums) {
        m = max(m, num)
    }
    // 2. 統計各數字的出現次數
    // counter[num] 代表 num 的出現次數
    val counter = IntArray(m + 1)
    for (num in nums) {
        counter[num]++
    }
    // 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
    for (i in 0..<m) {
        counter[i + 1] += counter[i]
    }
    // 4. 倒序走訪 nums ，將各元素填入結果陣列 res
    // 初始化陣列 res 用於記錄結果
    val n = nums.size
    val res = IntArray(n)
    for (i in n - 1 downTo 0) {
        val num = nums[i]
        res[counter[num] - 1] = num // 將 num 放置到對應索引處
        counter[num]-- // 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
    for (i in 0..<n) {
        nums[i] = res[i]
    }
}
counting_sort.rb
### 計數排序 ###
def counting_sort(nums)
  # 完整實現，可排序物件，並且是穩定排序
  # 1. 統計陣列最大元素 m
  m = nums.max
  # 2. 統計各數字的出現次數
  # counter[num] 代表 num 的出現次數
  counter = Array.new(m + 1, 0)
  nums.each { |num| counter[num] += 1 }
  # 3. 求 counter 的前綴和，將“出現次數”轉換為“尾索引”
  # 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最後一次出現的索引
  (0...m).each { |i| counter[i + 1] += counter[i] }
  # 4. 倒序走訪 nums, 將各元素填入結果陣列 res
  # 初始化陣列 res 用於記錄結果
  n = nums.length
  res = Array.new(n, 0)
  (n - 1).downto(0).each do |i|
    num = nums[i]
    res[counter[num] - 1] = num # 將 num 放置到對應索引處
    counter[num] -= 1 # 令前綴和自減 1 ，得到下次放置 num 的索引
  end
  # 使用結果陣列 res 覆蓋原陣列 nums
  (0...n).each { |i| nums[i] = res[i] }
end
counting_sort.zig
[class]{}-[func]{countingSort}
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11.9.3   演算法特性

  • 時間複雜度為 \(O(n + m)\)、非自適應排序 ：涉及走訪 nums 和走訪 counter ，都使用線性時間。一般情況下 \(n \gg m\) ，時間複雜度趨於 \(O(n)\) 。
  • 空間複雜度為 \(O(n + m)\)、非原地排序：藉助了長度分別為 \(n\) 和 \(m\) 的陣列 res 和 counter 。
  • 穩定排序：由於向 res 中填充元素的順序是“從右向左”的，因此倒序走訪 nums 可以避免改變相等元素之間的相對位置，從而實現穩定排序。實際上，正序走訪 nums 也可以得到正確的排序結果，但結果是非穩定的。

11.9.4   侷限性

看到這裡，你也許會覺得計數排序非常巧妙，僅透過統計數量就可以實現高效的排序。然而，使用計數排序的前置條件相對較為嚴格。

計數排序只適用於非負整數。若想將其用於其他型別的資料，需要確保這些資料可以轉換為非負整數，並且在轉換過程中不能改變各個元素之間的相對大小關係。例如，對於包含負數的整數陣列，可以先給所有數字加上一個常數，將全部數字轉化為正數，排序完成後再轉換回去。

計數排序適用於資料量大但資料範圍較小的情況。比如，在上述示例中 \(m\) 不能太大，否則會佔用過多空間。而當 \(n \ll m\) 時，計數排序使用 \(O(m)\) 時間，可能比 \(O(n \log n)\) 的排序演算法還要慢。