11.10   基數排序

上一節介紹了計數排序，它適用於資料量 \(n\) 較大但資料範圍 \(m\) 較小的情況。假設我們需要對 \(n = 10^6\) 個學號進行排序，而學號是一個 \(8\) 位數字，這意味著資料範圍 \(m = 10^8\) 非常大，使用計數排序需要分配大量記憶體空間，而基數排序可以避免這種情況。

基數排序（radix sort）的核心思想與計數排序一致，也透過統計個數來實現排序。在此基礎上，基數排序利用數字各位之間的遞進關係，依次對每一位進行排序，從而得到最終的排序結果。

11.10.1   演算法流程

以學號資料為例，假設數字的最低位是第 \(1\) 位，最高位是第 \(8\) 位，基數排序的流程如圖 11-18 所示。

1. 初始化位數 \(k = 1\) 。
2. 對學號的第 \(k\) 位執行“計數排序”。完成後，資料會根據第 \(k\) 位從小到大排序。
3. 將 \(k\) 增加 \(1\) ，然後返回步驟 2. 繼續迭代，直到所有位都排序完成後結束。

圖 11-18   基數排序演算法流程

下面剖析程式碼實現。對於一個 \(d\) 進位制的數字 \(x\) ，要獲取其第 \(k\) 位 \(x_k\) ，可以使用以下計算公式：

\[ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d \]

其中 \(\lfloor a \rfloor\) 表示對浮點數 \(a\) 向下取整，而 \(\bmod \: d\) 表示對 \(d\) 取模（取餘）。對於學號資料，\(d = 10\) 且 \(k \in [1, 8]\) 。

此外，我們需要小幅改動計數排序程式碼，使之可以根據數字的第 \(k\) 位進行排序：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

radix_sort.py

def digit(num: int, exp: int) -> int:
    """獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)"""
    # 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return (num // exp) % 10

def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int):
    """計數排序（根據 nums 第 k 位排序）"""
    # 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    counter = [0] * 10
    n = len(nums)
    # 統計 0~9 各數字的出現次數
    for i in range(n):
        d = digit(nums[i], exp)  # 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d] += 1  # 統計數字 d 的出現次數
    # 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for i in range(1, 10):
        counter[i] += counter[i - 1]
    # 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    res = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        d = digit(nums[i], exp)
        j = counter[d] - 1  # 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i]  # 將當前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1  # 將 d 的數量減 1
    # 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for i in range(n):
        nums[i] = res[i]

def radix_sort(nums: list[int]):
    """基數排序"""
    # 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    m = max(nums)
    # 按照從低位到高位的順序走訪
    exp = 1
    while exp <= m:
        # 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        # k = 1 -> exp = 1
        # k = 2 -> exp = 10
        # 即 exp = 10^(k-1)
        counting_sort_digit(nums, exp)
        exp *= 10

radix_sort.cpp

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(vector<int> &nums, int exp) {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    vector<int> counter(10, 0);
    int n = nums.size();
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d]++;                // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    vector<int> res(n, 0);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基數排序 */
void radixSort(vector<int> &nums) {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
}

radix_sort.java

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    int[] counter = new int[10];
    int n = nums.length;
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d]++;                // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基數排序 */
void radixSort(int[] nums) {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    int m = Integer.MIN_VALUE;
    for (int num : nums)
        if (num > m)
            m = num;
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
    }
}

radix_sort.cs

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int Digit(int num, int exp) {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
void CountingSortDigit(int[] nums, int exp) {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    int[] counter = new int[10];
    int n = nums.Length;
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = Digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d]++;                // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = Digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

/* 基數排序 */
void RadixSort(int[] nums) {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    int m = int.MinValue;
    foreach (int num in nums) {
        if (num > m) m = num;
    }
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        CountingSortDigit(nums, exp);
    }
}

radix_sort.go

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num, exp int) int {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return (num / exp) % 10
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    counter := make([]int, 10)
    n := len(nums)
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for i := 0; i < n; i++ {
        d := digit(nums[i], exp) // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d]++             // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for i := 1; i < 10; i++ {
        counter[i] += counter[i-1]
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    res := make([]int, n)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        d := digit(nums[i], exp)
        j := counter[d] - 1 // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i]    // 將當前元素填入索引 j
        counter[d]--        // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for i := 0; i < n; i++ {
        nums[i] = res[i]
    }
}

/* 基數排序 */
func radixSort(nums []int) {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    max := math.MinInt
    for _, num := range nums {
        if num > max {
            max = num
        }
    }
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    for exp := 1; max >= exp; exp *= 10 {
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp)
    }
}

radix_sort.swift

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num: Int, exp: Int) -> Int {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    (num / exp) % 10
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
func countingSortDigit(nums: inout [Int], exp: Int) {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    var counter = Array(repeating: 0, count: 10)
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for i in nums.indices {
        let d = digit(num: nums[i], exp: exp) // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d] += 1 // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for i in 1 ..< 10 {
        counter[i] += counter[i - 1]
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    var res = Array(repeating: 0, count: nums.count)
    for i in nums.indices.reversed() {
        let d = digit(num: nums[i], exp: exp)
        let j = counter[d] - 1 // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i] // 將當前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1 // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for i in nums.indices {
        nums[i] = res[i]
    }
}

/* 基數排序 */
func radixSort(nums: inout [Int]) {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    var m = Int.min
    for num in nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    for exp in sequence(first: 1, next: { m >= ($0 * 10) ? $0 * 10 : nil }) {
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums: &nums, exp: exp)
    }
}

radix_sort.js

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
function digit(num, exp) {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return Math.floor(num / exp) % 10;
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
function countingSortDigit(nums, exp) {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    const counter = new Array(10).fill(0);
    const n = nums.length;
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d]++; // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for (let i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    const res = new Array(n).fill(0);
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        const d = digit(nums[i], exp);
        const j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i]; // 將當前元素填入索引 j
        counter[d]--; // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

/* 基數排序 */
function radixSort(nums) {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    let m = Number.MIN_VALUE;
    for (const num of nums) {
        if (num > m) {
            m = num;
        }
    }
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
    }
}

radix_sort.ts

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
function digit(num: number, exp: number): number {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return Math.floor(num / exp) % 10;
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
function countingSortDigit(nums: number[], exp: number): void {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    const counter = new Array(10).fill(0);
    const n = nums.length;
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d]++; // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for (let i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    const res = new Array(n).fill(0);
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        const d = digit(nums[i], exp);
        const j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i]; // 將當前元素填入索引 j
        counter[d]--; // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

/* 基數排序 */
function radixSort(nums: number[]): void {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    let m = Number.MIN_VALUE;
    for (const num of nums) {
        if (num > m) {
            m = num;
        }
    }
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
    }
}

radix_sort.dart

/* 獲取元素 _num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int _num, int exp) {
  // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
  return (_num ~/ exp) % 10;
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(List<int> nums, int exp) {
  // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
  List<int> counter = List<int>.filled(10, 0);
  int n = nums.length;
  // 統計 0~9 各數字的出現次數
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    int d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
    counter[d]++; // 統計數字 d 的出現次數
  }
  // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
  for (int i = 1; i < 10; i++) {
    counter[i] += counter[i - 1];
  }
  // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
  List<int> res = List<int>.filled(n, 0);
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    int d = digit(nums[i], exp);
    int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
    res[j] = nums[i]; // 將當前元素填入索引 j
    counter[d]--; // 將 d 的數量減 1
  }
  // 使用結果覆蓋原陣列 nums
  for (int i = 0; i < n; i++) nums[i] = res[i];
}

/* 基數排序 */
void radixSort(List<int> nums) {
  // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
  // dart 中 int 的長度是 64 位的
  int m = -1 << 63;
  for (int _num in nums) if (_num > m) m = _num;
  // 按照從低位到高位的順序走訪
  for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
    // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
    // k = 1 -> exp = 1
    // k = 2 -> exp = 10
    // 即 exp = 10^(k-1)
    countingSortDigit(nums, exp);
}

radix_sort.rs

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
fn digit(num: i32, exp: i32) -> usize {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return ((num / exp) % 10) as usize;
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
fn counting_sort_digit(nums: &mut [i32], exp: i32) {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    let mut counter = [0; 10];
    let n = nums.len();
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for i in 0..n {
        let d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d] += 1; // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for i in 1..10 {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    let mut res = vec![0; n];
    for i in (0..n).rev() {
        let d = digit(nums[i], exp);
        let j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i]; // 將當前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1; // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    nums.copy_from_slice(&res);
}

/* 基數排序 */
fn radix_sort(nums: &mut [i32]) {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    let mut exp = 1;
    while exp <= m {
        counting_sort_digit(nums, exp);
        exp *= 10;
    }
}

radix_sort.c

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(int nums[], int size, int exp) {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    int *counter = (int *)malloc((sizeof(int) * 10));
    memset(counter, 0, sizeof(int) * 10); // 初始化為 0 以支持後續記憶體釋放
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        int d = digit(nums[i], exp);
        // 統計數字 d 的出現次數
        counter[d]++;
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size);
    for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
    // 釋放記憶體
    free(res);
    free(counter);
}

/* 基數排序 */
void radixSort(int nums[], int size) {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    int max = INT32_MIN;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (nums[i] > max) {
            max = nums[i];
        }
    }
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    for (int exp = 1; max >= exp; exp *= 10)
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, size, exp);
}

radix_sort.kt

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
fun digit(num: Int, exp: Int): Int {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return (num / exp) % 10
}

/* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
fun countingSortDigit(nums: IntArray, exp: Int) {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    val counter = IntArray(10)
    val n = nums.size
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for (i in 0..<n) {
        val d = digit(nums[i], exp) // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d]++                // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    for (i in 1..9) {
        counter[i] += counter[i - 1]
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    val res = IntArray(n)
    for (i in n - 1 downTo 0) {
        val d = digit(nums[i], exp)
        val j = counter[d] - 1 // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i]       // 將當前元素填入索引 j
        counter[d]--           // 將 d 的數量減 1
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    for (i in 0..<n)
        nums[i] = res[i]
}

/* 基數排序 */
fun radixSort(nums: IntArray) {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    var m = Int.MIN_VALUE
    for (num in nums) if (num > m) m = num
    var exp = 1
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    while (exp <= m) {
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp)
        exp *= 10
    }
}

radix_sort.rb

### 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) ###
def digit(num, exp)
  # 轉入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
  (num / exp) % 10
end

### 計數排序（根據 nums 第 k 位排序）###
def counting_sort_digit(nums, exp)
  # 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
  counter = Array.new(10, 0)
  n = nums.length
  # 統計 0~9 各數字的出現次數
  for i in 0...n
    d = digit(nums[i], exp) # 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
    counter[d] += 1 # 統計數字 d 的出現次數
  end
  # 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
  (1...10).each { |i| counter[i] += counter[i - 1] }
  # 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
  res = Array.new(n, 0)
  for i in (n - 1).downto(0)
    d = digit(nums[i], exp)
    j = counter[d] - 1 # 獲取 d 在陣列中的索引 j
    res[j] = nums[i] # 將當前元素填入索引 j
    counter[d] -= 1 # 將 d 的數量減 1
  end
  # 使用結果覆蓋原陣列 nums
  (0...n).each { |i| nums[i] = res[i] }
end

### 基數排序 ###
def radix_sort(nums)
  # 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
  m = nums.max
  # 按照從低位到高位的順序走訪
  exp = 1
  while exp <= m
    # 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
    # k = 1 -> exp = 1
    # k = 2 -> exp = 10
    # 即 exp = 10^(k-1)
    counting_sort_digit(nums, exp)
    exp *= 10
  end
end

radix_sort.zig

// 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)
fn digit(num: i32, exp: i32) i32 {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
    return @mod(@divFloor(num, exp), 10);
}

// 計數排序（根據 nums 第 k 位排序）
fn countingSortDigit(nums: []i32, exp: i32) !void {
    // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
    var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
    // defer mem_arena.deinit();
    const mem_allocator = mem_arena.allocator();
    var counter = try mem_allocator.alloc(usize, 10);
    @memset(counter, 0);
    var n = nums.len;
    // 統計 0~9 各數字的出現次數
    for (nums) |num| {
        var d: u32 = @bitCast(digit(num, exp)); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d] += 1; // 統計數字 d 的出現次數
    }
    // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
    var i: usize = 1;
    while (i < 10) : (i += 1) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
    var res = try mem_allocator.alloc(i32, n);
    i = n - 1;
    while (i >= 0) : (i -= 1) {
        var d: u32 = @bitCast(digit(nums[i], exp));
        var j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1;        // 將 d 的數量減 1
        if (i == 0) break;
    }
    // 使用結果覆蓋原陣列 nums
    i = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

// 基數排序
fn radixSort(nums: []i32) !void {
    // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
    var m: i32 = std.math.minInt(i32);
    for (nums) |num| {
        if (num > m) m = num;
    }
    // 按照從低位到高位的順序走訪
    var exp: i32 = 1;
    while (exp <= m) : (exp *= 10) {
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        try countingSortDigit(nums, exp);    
    }
} 

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為什麼從最低位開始排序？

在連續的排序輪次中，後一輪排序會覆蓋前一輪排序的結果。舉例來說，如果第一輪排序結果 \(a < b\) ，而第二輪排序結果 \(a > b\) ，那麼第二輪的結果將取代第一輪的結果。由於數字的高位優先順序高於低位，因此應該先排序低位再排序高位。

11.10.2   演算法特性

相較於計數排序，基數排序適用於數值範圍較大的情況，但前提是資料必須可以表示為固定位數的格式，且位數不能過大。例如，浮點數不適合使用基數排序，因為其位數 \(k\) 過大，可能導致時間複雜度 \(O(nk) \gg O(n^2)\) 。

• 時間複雜度為 \(O(nk)\)、非自適應排序：設資料量為 \(n\)、資料為 \(d\) 進位制、最大位數為 \(k\) ，則對某一位執行計數排序使用 \(O(n + d)\) 時間，排序所有 \(k\) 位使用 \(O((n + d)k)\) 時間。通常情況下，\(d\) 和 \(k\) 都相對較小，時間複雜度趨向 \(O(n)\) 。
• 空間複雜度為 \(O(n + d)\)、非原地排序：與計數排序相同，基數排序需要藉助長度為 \(n\) 和 \(d\) 的陣列 res 和 counter 。
• 穩定排序：當計數排序穩定時，基數排序也穩定；當計數排序不穩定時，基數排序無法保證得到正確的排序結果。