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7.4   二元搜尋樹

如圖 7-16 所示，二元搜尋樹（binary search tree）滿足以下條件。

  1. 對於根節點，左子樹中所有節點的值 \(<\) 根節點的值 \(<\) 右子樹中所有節點的值。
  2. 任意節點的左、右子樹也是二元搜尋樹，即同樣滿足條件 1. 。

二元搜尋樹

圖 7-16   二元搜尋樹

7.4.1   二元搜尋樹的操作

我們將二元搜尋樹封裝為一個類別 BinarySearchTree ，並宣告一個成員變數 root ，指向樹的根節點。

1.   查詢節點

給定目標節點值 num ，可以根據二元搜尋樹的性質來查詢。如圖 7-17 所示，我們宣告一個節點 cur ，從二元樹的根節點 root 出發，迴圈比較節點值 cur.val 和 num 之間的大小關係。

  • 若 cur.val < num ，說明目標節點在 cur 的右子樹中，因此執行 cur = cur.right 。
  • 若 cur.val > num ，說明目標節點在 cur 的左子樹中，因此執行 cur = cur.left 。
  • 若 cur.val = num ，說明找到目標節點，跳出迴圈並返回該節點。

二元搜尋樹查詢節點示例

bst_search_step2

bst_search_step3

bst_search_step4

圖 7-17   二元搜尋樹查詢節點示例

二元搜尋樹的查詢操作與二分搜尋演算法的工作原理一致，都是每輪排除一半情況。迴圈次數最多為二元樹的高度，當二元樹平衡時，使用 \(O(\log n)\) 時間。示例程式碼如下：

binary_search_tree.py
def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
    """查詢節點"""
    cur = self._root
    # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while cur is not None:
        # 目標節點在 cur 的右子樹中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 目標節點在 cur 的左子樹中
        elif cur.val > num:
            cur = cur.left
        # 找到目標節點，跳出迴圈
        else:
            break
    return cur
binary_search_tree.cpp
/* 查詢節點 */
TreeNode *search(int num) {
    TreeNode *cur = root;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 目標節點在 cur 的右子樹中
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 目標節點在 cur 的左子樹中
        else if (cur->val > num)
            cur = cur->left;
        // 找到目標節點，跳出迴圈
        else
            break;
    }
    // 返回目標節點
    return cur;
}
binary_search_tree.java
/* 查詢節點 */
TreeNode search(int num) {
    TreeNode cur = root;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 目標節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 目標節點在 cur 的左子樹中
        else if (cur.val > num)
            cur = cur.left;
        // 找到目標節點，跳出迴圈
        else
            break;
    }
    // 返回目標節點
    return cur;
}
binary_search_tree.cs
/* 查詢節點 */
TreeNode? Search(int num) {
    TreeNode? cur = root;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 目標節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num) cur =
            cur.right;
        // 目標節點在 cur 的左子樹中
        else if (cur.val > num)
            cur = cur.left;
        // 找到目標節點，跳出迴圈
        else
            break;
    }
    // 返回目標節點
    return cur;
}
binary_search_tree.go
/* 查詢節點 */
func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
    node := bst.root
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    for node != nil {
        if node.Val.(int) < num {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            node = node.Right
        } else if node.Val.(int) > num {
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            node = node.Left
        } else {
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            break
        }
    }
    // 返回目標節點
    return node
}
binary_search_tree.swift
/* 查詢節點 */
func search(num: Int) -> TreeNode? {
    var cur = root
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while cur != nil {
        // 目標節點在 cur 的右子樹中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 目標節點在 cur 的左子樹中
        else if cur!.val > num {
            cur = cur?.left
        }
        // 找到目標節點，跳出迴圈
        else {
            break
        }
    }
    // 返回目標節點
    return cur
}
binary_search_tree.js
/* 查詢節點 */
search(num) {
    let cur = this.root;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur !== null) {
        // 目標節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目標節點在 cur 的左子樹中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目標節點，跳出迴圈
        else break;
    }
    // 返回目標節點
    return cur;
}
binary_search_tree.ts
/* 查詢節點 */
search(num: number): TreeNode | null {
    let cur = this.root;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur !== null) {
        // 目標節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目標節點在 cur 的左子樹中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目標節點，跳出迴圈
        else break;
    }
    // 返回目標節點
    return cur;
}
binary_search_tree.dart
/* 查詢節點 */
TreeNode? search(int _num) {
  TreeNode? cur = _root;
  // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
  while (cur != null) {
    // 目標節點在 cur 的右子樹中
    if (cur.val < _num)
      cur = cur.right;
    // 目標節點在 cur 的左子樹中
    else if (cur.val > _num)
      cur = cur.left;
    // 找到目標節點，跳出迴圈
    else
      break;
  }
  // 返回目標節點
  return cur;
}
binary_search_tree.rs
/* 查詢節點 */
pub fn search(&self, num: i32) -> OptionTreeNodeRc {
    let mut cur = self.root.clone();
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while let Some(node) = cur.clone() {
        match num.cmp(&node.borrow().val) {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            Ordering::Greater => cur = node.borrow().right.clone(),
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            Ordering::Less => cur = node.borrow().left.clone(),
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            Ordering::Equal => break,
        }
    }

    // 返回目標節點
    cur
}
binary_search_tree.c
/* 查詢節點 */
TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) {
    TreeNode *cur = bst->root;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != NULL) {
        if (cur->val < num) {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            cur = cur->right;
        } else if (cur->val > num) {
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            cur = cur->left;
        } else {
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            break;
        }
    }
    // 返回目標節點
    return cur;
}
binary_search_tree.kt
/* 查詢節點 */
fun search(num: Int): TreeNode? {
    var cur = root
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 目標節點在 cur 的右子樹中
        cur = if (cur._val < num)
            cur.right
        // 目標節點在 cur 的左子樹中
        else if (cur._val > num)
            cur.left
        // 找到目標節點，跳出迴圈
        else
            break
    }
    // 返回目標節點
    return cur
}
binary_search_tree.rb
### 查詢節點 ###
def search(num)
  cur = @root

  # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
  while !cur.nil?
    # 目標節點在 cur 的右子樹中
    if cur.val < num
      cur = cur.right
    # 目標節點在 cur 的左子樹中
    elsif cur.val > num
      cur = cur.left
    # 找到目標節點，跳出迴圈
    else
      break
    end
  end

  cur
end
binary_search_tree.zig
// 查詢節點
fn search(self: *Self, num: T) ?*inc.TreeNode(T) {
    var cur = self.root;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 目標節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 目標節點在 cur 的左子樹中
        } else if (cur.?.val > num) {
            cur = cur.?.left;
        // 找到目標節點，跳出迴圈
        } else {
            break;
        }
    }
    // 返回目標節點
    return cur;
}
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2.   插入節點

給定一個待插入元素 num ，為了保持二元搜尋樹“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質，插入操作流程如圖 7-18 所示。

  1. 查詢插入位置：與查詢操作相似，從根節點出發，根據當前節點值和 num 的大小關係迴圈向下搜尋，直到越過葉節點（走訪至 None ）時跳出迴圈。
  2. 在該位置插入節點：初始化節點 num ，將該節點置於 None 的位置。

在二元搜尋樹中插入節點

圖 7-18   在二元搜尋樹中插入節點

在程式碼實現中，需要注意以下兩點。

  • 二元搜尋樹不允許存在重複節點，否則將違反其定義。因此，若待插入節點在樹中已存在，則不執行插入，直接返回。
  • 為了實現插入節點，我們需要藉助節點 pre 儲存上一輪迴圈的節點。這樣在走訪至 None 時，我們可以獲取到其父節點，從而完成節點插入操作。
binary_search_tree.py
def insert(self, num: int):
    """插入節點"""
    # 若樹為空，則初始化根節點
    if self._root is None:
        self._root = TreeNode(num)
        return
    # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    cur, pre = self._root, None
    while cur is not None:
        # 找到重複節點，直接返回
        if cur.val == num:
            return
        pre = cur
        # 插入位置在 cur 的右子樹中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 插入位置在 cur 的左子樹中
        else:
            cur = cur.left
    # 插入節點
    node = TreeNode(num)
    if pre.val < num:
        pre.right = node
    else:
        pre.left = node
binary_search_tree.cpp
/* 插入節點 */
void insert(int num) {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if (root == nullptr) {
        root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到重複節點，直接返回
        if (cur->val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子樹中
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 插入位置在 cur 的左子樹中
        else
            cur = cur->left;
    }
    // 插入節點
    TreeNode *node = new TreeNode(num);
    if (pre->val < num)
        pre->right = node;
    else
        pre->left = node;
}
binary_search_tree.java
/* 插入節點 */
void insert(int num) {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if (root == null) {
        root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重複節點，直接返回
        if (cur.val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子樹中
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 插入節點
    TreeNode node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num)
        pre.right = node;
    else
        pre.left = node;
}
binary_search_tree.cs
/* 插入節點 */
void Insert(int num) {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if (root == null) {
        root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重複節點，直接返回
        if (cur.val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子樹中
        else
            cur = cur.left;
    }

    // 插入節點
    TreeNode node = new(num);
    if (pre != null) {
        if (pre.val < num)
            pre.right = node;
        else
            pre.left = node;
    }
}
binary_search_tree.go
/* 插入節點 */
func (bst *binarySearchTree) insert(num int) {
    cur := bst.root
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if cur == nil {
        bst.root = NewTreeNode(num)
        return
    }
    // 待插入節點之前的節點位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            return
        }
        pre = cur
        if cur.Val.(int) < num {
            cur = cur.Right
        } else {
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 插入節點
    node := NewTreeNode(num)
    if pre.Val.(int) < num {
        pre.Right = node
    } else {
        pre.Left = node
    }
}
binary_search_tree.swift
/* 插入節點 */
func insert(num: Int) {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if root == nil {
        root = TreeNode(x: num)
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while cur != nil {
        // 找到重複節點，直接返回
        if cur!.val == num {
            return
        }
        pre = cur
        // 插入位置在 cur 的右子樹中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 插入位置在 cur 的左子樹中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 插入節點
    let node = TreeNode(x: num)
    if pre!.val < num {
        pre?.right = node
    } else {
        pre?.left = node
    }
}
binary_search_tree.js
/* 插入節點 */
insert(num) {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if (this.root === null) {
        this.root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    let cur = this.root,
        pre = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到重複節點，直接返回
        if (cur.val === num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子樹中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入節點
    const node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num) pre.right = node;
    else pre.left = node;
}
binary_search_tree.ts
/* 插入節點 */
insert(num: number): void {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if (this.root === null) {
        this.root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    let cur: TreeNode | null = this.root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到重複節點，直接返回
        if (cur.val === num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子樹中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入節點
    const node = new TreeNode(num);
    if (pre!.val < num) pre!.right = node;
    else pre!.left = node;
}
binary_search_tree.dart
/* 插入節點 */
void insert(int _num) {
  // 若樹為空，則初始化根節點
  if (_root == null) {
    _root = TreeNode(_num);
    return;
  }
  TreeNode? cur = _root;
  TreeNode? pre = null;
  // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
  while (cur != null) {
    // 找到重複節點，直接返回
    if (cur.val == _num) return;
    pre = cur;
    // 插入位置在 cur 的右子樹中
    if (cur.val < _num)
      cur = cur.right;
    // 插入位置在 cur 的左子樹中
    else
      cur = cur.left;
  }
  // 插入節點
  TreeNode? node = TreeNode(_num);
  if (pre!.val < _num)
    pre.right = node;
  else
    pre.left = node;
}
binary_search_tree.rs
/* 插入節點 */
pub fn insert(&mut self, num: i32) {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if self.root.is_none() {
        self.root = Some(TreeNode::new(num));
        return;
    }
    let mut cur = self.root.clone();
    let mut pre = None;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while let Some(node) = cur.clone() {
        match num.cmp(&node.borrow().val) {
            // 找到重複節點，直接返回
            Ordering::Equal => return,
            // 插入位置在 cur 的右子樹中
            Ordering::Greater => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().right.clone();
            }
            // 插入位置在 cur 的左子樹中
            Ordering::Less => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().left.clone();
            }
        }
    }
    // 插入節點
    let pre = pre.unwrap();
    let node = Some(TreeNode::new(num));
    if num > pre.borrow().val {
        pre.borrow_mut().right = node;
    } else {
        pre.borrow_mut().left = node;
    }
}
binary_search_tree.c
/* 插入節點 */
void insert(BinarySearchTree *bst, int num) {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if (bst->root == NULL) {
        bst->root = newTreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != NULL) {
        // 找到重複節點，直接返回
        if (cur->val == num) {
            return;
        }
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 插入位置在 cur 的右子樹中
            cur = cur->right;
        } else {
            // 插入位置在 cur 的左子樹中
            cur = cur->left;
        }
    }
    // 插入節點
    TreeNode *node = newTreeNode(num);
    if (pre->val < num) {
        pre->right = node;
    } else {
        pre->left = node;
    }
}
binary_search_tree.kt
/* 插入節點 */
fun insert(num: Int) {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if (root == null) {
        root = TreeNode(num)
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode? = null
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重複節點，直接返回
        if (cur._val == num)
            return
        pre = cur
        // 插入位置在 cur 的右子樹中
        cur = if (cur._val < num)
            cur.right
        // 插入位置在 cur 的左子樹中
        else
            cur.left
    }
    // 插入節點
    val node = TreeNode(num)
    if (pre?._val!! < num)
        pre.right = node
    else
        pre.left = node
}
binary_search_tree.rb
### 插入節點 ###
def insert(num)
  # 若樹為空，則初始化根節點
  if @root.nil?
    @root = TreeNode.new(num)
    return
  end

  # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
  cur, pre = @root, nil
  while !cur.nil?
    # 找到重複節點，直接返回
    return if cur.val == num

    pre = cur
    # 插入位置在 cur 的右子樹中
    if cur.val < num
      cur = cur.right
    # 插入位置在 cur 的左子樹中
    else
      cur = cur.left
    end
  end

  # 插入節點
  node = TreeNode.new(num)
  if pre.val < num
    pre.right = node
  else
    pre.left = node
  end
end
binary_search_tree.zig
// 插入節點
fn insert(self: *Self, num: T) !void {
    // 若樹為空，則初始化根節點
    if (self.root == null) {
        self.root = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
        return;
    }
    var cur = self.root;
    var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重複節點，直接返回
        if (cur.?.val == num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子樹中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 插入位置在 cur 的左子樹中
        } else {
            cur = cur.?.left;
        }
    }
    // 插入節點
    var node = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
    node.init(num);
    if (pre.?.val < num) {
        pre.?.right = node;
    } else {
        pre.?.left = node;
    }
}
視覺化執行

與查詢節點相同，插入節點使用 \(O(\log n)\) 時間。

3.   刪除節點

先在二元樹中查詢到目標節點，再將其刪除。與插入節點類似，我們需要保證在刪除操作完成後，二元搜尋樹的“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質仍然滿足。因此，我們根據目標節點的子節點數量，分 0、1 和 2 三種情況，執行對應的刪除節點操作。

如圖 7-19 所示，當待刪除節點的度為 \(0\) 時，表示該節點是葉節點，可以直接刪除。

在二元搜尋樹中刪除節點（度為 0 ）

圖 7-19   在二元搜尋樹中刪除節點（度為 0 ）

如圖 7-20 所示，當待刪除節點的度為 \(1\) 時，將待刪除節點替換為其子節點即可。

在二元搜尋樹中刪除節點（度為 1 ）

圖 7-20   在二元搜尋樹中刪除節點（度為 1 ）

當待刪除節點的度為 \(2\) 時，我們無法直接刪除它，而需要使用一個節點替換該節點。由於要保持二元搜尋樹“左子樹 \(<\) 根節點 \(<\) 右子樹”的性質，因此這個節點可以是右子樹的最小節點或左子樹的最大節點。

假設我們選擇右子樹的最小節點（中序走訪的下一個節點），則刪除操作流程如圖 7-21 所示。

  1. 找到待刪除節點在“中序走訪序列”中的下一個節點，記為 tmp 。
  2. 用 tmp 的值覆蓋待刪除節點的值，並在樹中遞迴刪除節點 tmp 。

在二元搜尋樹中刪除節點（度為 2 ）

bst_remove_case3_step2

bst_remove_case3_step3

bst_remove_case3_step4

圖 7-21   在二元搜尋樹中刪除節點（度為 2 ）

刪除節點操作同樣使用 \(O(\log n)\) 時間，其中查詢待刪除節點需要 \(O(\log n)\) 時間，獲取中序走訪後繼節點需要 \(O(\log n)\) 時間。示例程式碼如下：

binary_search_tree.py
def remove(self, num: int):
    """刪除節點"""
    # 若樹為空，直接提前返回
    if self._root is None:
        return
    # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    cur, pre = self._root, None
    while cur is not None:
        # 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if cur.val == num:
            break
        pre = cur
        # 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else:
            cur = cur.left
    # 若無待刪除節點，則直接返回
    if cur is None:
        return

    # 子節點數量 = 0 or 1
    if cur.left is None or cur.right is None:
        # 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        child = cur.left or cur.right
        # 刪除節點 cur
        if cur != self._root:
            if pre.left == cur:
                pre.left = child
            else:
                pre.right = child
        else:
            # 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
            self._root = child
    # 子節點數量 = 2
    else:
        # 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        tmp: TreeNode = cur.right
        while tmp.left is not None:
            tmp = tmp.left
        # 遞迴刪除節點 tmp
        self.remove(tmp.val)
        # 用 tmp 覆蓋 cur
        cur.val = tmp.val
binary_search_tree.cpp
/* 刪除節點 */
void remove(int num) {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if (root == nullptr)
        return;
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if (cur->val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else
            cur = cur->left;
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if (cur == nullptr)
        return;
    // 子節點數量 = 0 or 1
    if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
        TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
        // 刪除節點 cur
        if (cur != root) {
            if (pre->left == cur)
                pre->left = child;
            else
                pre->right = child;
        } else {
            // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
            root = child;
        }
        // 釋放記憶體
        delete cur;
    }
    // 子節點數量 = 2
    else {
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        TreeNode *tmp = cur->right;
        while (tmp->left != nullptr) {
            tmp = tmp->left;
        }
        int tmpVal = tmp->val;
        // 遞迴刪除節點 tmp
        remove(tmp->val);
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur->val = tmpVal;
    }
}
binary_search_tree.java
/* 刪除節點 */
void remove(int num) {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if (root == null)
        return;
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if (cur.val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if (cur == null)
        return;
    // 子節點數量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
        // 刪除節點 cur
        if (cur != root) {
            if (pre.left == cur)
                pre.left = child;
            else
                pre.right = child;
        } else {
            // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
            root = child;
        }
    }
    // 子節點數量 = 2
    else {
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        TreeNode tmp = cur.right;
        while (tmp.left != null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 遞迴刪除節點 tmp
        remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
binary_search_tree.cs
/* 刪除節點 */
void Remove(int num) {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if (root == null)
        return;
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if (cur.val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if (cur == null)
        return;
    // 子節點數量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
        // 刪除節點 cur
        if (cur != root) {
            if (pre!.left == cur)
                pre.left = child;
            else
                pre.right = child;
        } else {
            // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
            root = child;
        }
    }
    // 子節點數量 = 2
    else {
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        TreeNode? tmp = cur.right;
        while (tmp.left != null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 遞迴刪除節點 tmp
        Remove(tmp.val!.Value);
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
binary_search_tree.go
/* 刪除節點 */
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
    cur := bst.root
    // 若樹為空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 待刪除節點之前的節點位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            break
        }
        pre = cur
        if cur.Val.(int) < num {
            // 待刪除節點在右子樹中
            cur = cur.Right
        } else {
            // 待刪除節點在左子樹中
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 子節點數為 0 或 1
    if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
        var child *TreeNode = nil
        // 取出待刪除節點的子節點
        if cur.Left != nil {
            child = cur.Left
        } else {
            child = cur.Right
        }
        // 刪除節點 cur
        if cur != bst.root {
            if pre.Left == cur {
                pre.Left = child
            } else {
                pre.Right = child
            }
        } else {
            // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
            bst.root = child
        }
        // 子節點數為 2
    } else {
        // 獲取中序走訪中待刪除節點 cur 的下一個節點
        tmp := cur.Right
        for tmp.Left != nil {
            tmp = tmp.Left
        }
        // 遞迴刪除節點 tmp
        bst.remove(tmp.Val.(int))
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur.Val = tmp.Val
    }
}
binary_search_tree.swift
/* 刪除節點 */
func remove(num: Int) {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if root == nil {
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while cur != nil {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if cur!.val == num {
            break
        }
        pre = cur
        // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 子節點數量 = 0 or 1
    if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        let child = cur?.left ?? cur?.right
        // 刪除節點 cur
        if cur !== root {
            if pre?.left === cur {
                pre?.left = child
            } else {
                pre?.right = child
            }
        } else {
            // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
            root = child
        }
    }
    // 子節點數量 = 2
    else {
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        var tmp = cur?.right
        while tmp?.left != nil {
            tmp = tmp?.left
        }
        // 遞迴刪除節點 tmp
        remove(num: tmp!.val)
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur?.val = tmp!.val
    }
}
binary_search_tree.js
/* 刪除節點 */
remove(num) {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if (this.root === null) return;
    let cur = this.root,
        pre = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if (cur === null) return;
    // 子節點數量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        const child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 刪除節點 cur
        if (cur !== this.root) {
            if (pre.left === cur) pre.left = child;
            else pre.right = child;
        } else {
            // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
            this.root = child;
        }
    }
    // 子節點數量 = 2
    else {
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        let tmp = cur.right;
        while (tmp.left !== null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 遞迴刪除節點 tmp
        this.remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
binary_search_tree.ts
/* 刪除節點 */
remove(num: number): void {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if (this.root === null) return;
    let cur: TreeNode | null = this.root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if (cur === null) return;
    // 子節點數量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        const child: TreeNode | null =
            cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 刪除節點 cur
        if (cur !== this.root) {
            if (pre!.left === cur) pre!.left = child;
            else pre!.right = child;
        } else {
            // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
            this.root = child;
        }
    }
    // 子節點數量 = 2
    else {
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        let tmp: TreeNode | null = cur.right;
        while (tmp!.left !== null) {
            tmp = tmp!.left;
        }
        // 遞迴刪除節點 tmp
        this.remove(tmp!.val);
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur.val = tmp!.val;
    }
}
binary_search_tree.dart
/* 刪除節點 */
void remove(int _num) {
  // 若樹為空，直接提前返回
  if (_root == null) return;
  TreeNode? cur = _root;
  TreeNode? pre = null;
  // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
  while (cur != null) {
    // 找到待刪除節點，跳出迴圈
    if (cur.val == _num) break;
    pre = cur;
    // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
    if (cur.val < _num)
      cur = cur.right;
    // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
    else
      cur = cur.left;
  }
  // 若無待刪除節點，直接返回
  if (cur == null) return;
  // 子節點數量 = 0 or 1
  if (cur.left == null || cur.right == null) {
    // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
    TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
    // 刪除節點 cur
    if (cur != _root) {
      if (pre!.left == cur)
        pre.left = child;
      else
        pre.right = child;
    } else {
      // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
      _root = child;
    }
  } else {
    // 子節點數量 = 2
    // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
    TreeNode? tmp = cur.right;
    while (tmp!.left != null) {
      tmp = tmp.left;
    }
    // 遞迴刪除節點 tmp
    remove(tmp.val);
    // 用 tmp 覆蓋 cur
    cur.val = tmp.val;
  }
}
binary_search_tree.rs
/* 刪除節點 */
pub fn remove(&mut self, num: i32) {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if self.root.is_none() {
        return;
    }
    let mut cur = self.root.clone();
    let mut pre = None;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while let Some(node) = cur.clone() {
        match num.cmp(&node.borrow().val) {
            // 找到待刪除節點，跳出迴圈
            Ordering::Equal => break,
            // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
            Ordering::Greater => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().right.clone();
            }
            // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
            Ordering::Less => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().left.clone();
            }
        }
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if cur.is_none() {
        return;
    }
    let cur = cur.unwrap();
    let (left_child, right_child) = (cur.borrow().left.clone(), cur.borrow().right.clone());
    match (left_child.clone(), right_child.clone()) {
        // 子節點數量 = 0 or 1
        (None, None) | (Some(_), None) | (None, Some(_)) => {
            // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
            let child = left_child.or(right_child);
            let pre = pre.unwrap();
            // 刪除節點 cur
            if !Rc::ptr_eq(&cur, self.root.as_ref().unwrap()) {
                let left = pre.borrow().left.clone();
                if left.is_some() && Rc::ptr_eq(left.as_ref().unwrap(), &cur) {
                    pre.borrow_mut().left = child;
                } else {
                    pre.borrow_mut().right = child;
                }
            } else {
                // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                self.root = child;
            }
        }
        // 子節點數量 = 2
        (Some(_), Some(_)) => {
            // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            let mut tmp = cur.borrow().right.clone();
            while let Some(node) = tmp.clone() {
                if node.borrow().left.is_some() {
                    tmp = node.borrow().left.clone();
                } else {
                    break;
                }
            }
            let tmp_val = tmp.unwrap().borrow().val;
            // 遞迴刪除節點 tmp
            self.remove(tmp_val);
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur.borrow_mut().val = tmp_val;
        }
    }
}
binary_search_tree.c
/* 刪除節點 */
// 由於引入了 stdio.h ，此處無法使用 remove 關鍵詞
void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if (bst->root == NULL)
        return;
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != NULL) {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if (cur->val == num)
            break;
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 待刪除節點在 root 的右子樹中
            cur = cur->right;
        } else {
            // 待刪除節點在 root 的左子樹中
            cur = cur->left;
        }
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if (cur == NULL)
        return;
    // 判斷待刪除節點是否存在子節點
    if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
        /* 子節點數量 = 0 or 1 */
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
        TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
        // 刪除節點 cur
        if (pre->left == cur) {
            pre->left = child;
        } else {
            pre->right = child;
        }
        // 釋放記憶體
        free(cur);
    } else {
        /* 子節點數量 = 2 */
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        TreeNode *tmp = cur->right;
        while (tmp->left != NULL) {
            tmp = tmp->left;
        }
        int tmpVal = tmp->val;
        // 遞迴刪除節點 tmp
        removeItem(bst, tmp->val);
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur->val = tmpVal;
    }
}
binary_search_tree.kt
/* 刪除節點 */
fun remove(num: Int) {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if (root == null)
        return
    var cur = root
    var pre: TreeNode? = null
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if (cur._val == num)
            break
        pre = cur
        // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        cur = if (cur._val < num)
            cur.right
        // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else
            cur.left
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if (cur == null)
        return
    // 子節點數量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        val child = if (cur.left != null)
            cur.left
        else
            cur.right
        // 刪除節點 cur
        if (cur != root) {
            if (pre!!.left == cur)
                pre.left = child
            else
                pre.right = child
        } else {
            // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
            root = child
        }
        // 子節點數量 = 2
    } else {
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        var tmp = cur.right
        while (tmp!!.left != null) {
            tmp = tmp.left
        }
        // 遞迴刪除節點 tmp
        remove(tmp._val)
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur._val = tmp._val
    }
}
binary_search_tree.rb
### 刪除節點 ###
def remove(num)
  # 若樹為空，直接提前返回
  return if @root.nil?

  # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
  cur, pre = @root, nil
  while !cur.nil?
    # 找到待刪除節點，跳出迴圈
    break if cur.val == num

    pre = cur
    # 待刪除節點在 cur 的右子樹中
    if cur.val < num
      cur = cur.right
    # 待刪除節點在 cur 的左子樹中
    else
      cur = cur.left
    end
  end
  # 若無待刪除節點，則直接返回
  return if cur.nil?

  # 子節點數量 = 0 or 1
  if cur.left.nil? || cur.right.nil?
    # 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
    child = cur.left || cur.right
    # 刪除節點 cur
    if cur != @root
      if pre.left == cur
        pre.left = child
      else
        pre.right = child
      end
    else
      # 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
      @root = child
    end
  # 子節點數量 = 2
  else
    # 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
    tmp = cur.right
    while !tmp.left.nil?
      tmp = tmp.left
    end
    # 遞迴刪除節點 tmp
    remove(tmp.val)
    # 用 tmp 覆蓋 cur
    cur.val = tmp.val
  end
end
binary_search_tree.zig
// 刪除節點
fn remove(self: *Self, num: T) void {
    // 若樹為空，直接提前返回
    if (self.root == null) return;
    var cur = self.root;
    var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
    // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if (cur.?.val == num) break;
        pre = cur;
        // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        } else {
            cur = cur.?.left;
        }
    }
    // 若無待刪除節點，則直接返回
    if (cur == null) return;
    // 子節點數量 = 0 or 1
    if (cur.?.left == null or cur.?.right == null) {
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        var child = if (cur.?.left != null) cur.?.left else cur.?.right;
        // 刪除節點 cur
        if (pre.?.left == cur) {
            pre.?.left = child;
        } else {
            pre.?.right = child;
        }
    // 子節點數量 = 2
    } else {
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        var tmp = cur.?.right;
        while (tmp.?.left != null) {
            tmp = tmp.?.left;
        }
        var tmp_val = tmp.?.val;
        // 遞迴刪除節點 tmp
        self.remove(tmp.?.val);
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur.?.val = tmp_val;
    }
}
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4.   中序走訪有序

如圖 7-22 所示，二元樹的中序走訪遵循“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”的走訪順序，而二元搜尋樹滿足“左子節點 \(<\) 根節點 \(<\) 右子節點”的大小關係。

這意味著在二元搜尋樹中進行中序走訪時，總是會優先走訪下一個最小節點，從而得出一個重要性質：二元搜尋樹的中序走訪序列是升序的。

利用中序走訪升序的性質，我們在二元搜尋樹中獲取有序資料僅需 \(O(n)\) 時間，無須進行額外的排序操作，非常高效。

二元搜尋樹的中序走訪序列

圖 7-22   二元搜尋樹的中序走訪序列

7.4.2   二元搜尋樹的效率

給定一組資料，我們考慮使用陣列或二元搜尋樹儲存。觀察表 7-2 ，二元搜尋樹的各項操作的時間複雜度都是對數階，具有穩定且高效的效能。只有在高頻新增、低頻查詢刪除資料的場景下，陣列比二元搜尋樹的效率更高。

表 7-2   陣列與搜尋樹的效率對比

無序陣列 二元搜尋樹
查詢元素 \(O(n)\) \(O(\log n)\)
插入元素 \(O(1)\) \(O(\log n)\)
刪除元素 \(O(n)\) \(O(\log n)\)

在理想情況下，二元搜尋樹是“平衡”的，這樣就可以在 \(\log n\) 輪迴圈內查詢任意節點。

然而，如果我們在二元搜尋樹中不斷地插入和刪除節點，可能導致二元樹退化為圖 7-23 所示的鏈結串列，這時各種操作的時間複雜度也會退化為 \(O(n)\) 。

二元搜尋樹退化

圖 7-23   二元搜尋樹退化

7.4.3   二元搜尋樹常見應用

  • 用作系統中的多級索引，實現高效的查詢、插入、刪除操作。
  • 作為某些搜尋演算法的底層資料結構。
  • 用於儲存資料流，以保持其有序狀態。