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9.1   图

图(graph)是一种非线性数据结构,由顶点(vertex)边(edge)组成。我们可以将图 \(G\) 抽象地表示为一组顶点 \(V\) 和一组边 \(E\) 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。

\[ \begin{aligned} V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline G & = \{ V, E \} \newline \end{aligned} \]

如果将顶点看作节点,将边看作连接各个节点的引用(指针),我们就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。如图 9-1 所示,相较于线性关系(链表)和分治关系(树),网络关系(图)的自由度更高,因而更为复杂。

链表、树、图之间的关系

图 9-1   链表、树、图之间的关系

9.1.1   图的常见类型与术语

根据边是否具有方向,可分为无向图(undirected graph)有向图(directed graph),如图 9-2 所示。

  • 在无向图中,边表示两顶点之间的“双向”连接关系,例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
  • 在有向图中,边具有方向性,即 \(A \rightarrow B\)\(A \leftarrow B\) 两个方向的边是相互独立的,例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。

有向图与无向图

图 9-2   有向图与无向图

根据所有顶点是否连通,可分为连通图(connected graph)非连通图(disconnected graph),如图 9-3 所示。

  • 对于连通图,从某个顶点出发,可以到达其余任意顶点。
  • 对于非连通图,从某个顶点出发,至少有一个顶点无法到达。

连通图与非连通图

图 9-3   连通图与非连通图

我们还可以为边添加“权重”变量,从而得到如图 9-4 所示的有权图(weighted graph)。例如在《王者荣耀》等手游中,系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”,这种亲密度网络就可以用有权图来表示。

有权图与无权图

图 9-4   有权图与无权图

图数据结构包含以下常用术语。

  • 邻接(adjacency):当两顶点之间存在边相连时,称这两顶点“邻接”。在图 9-4 中,顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
  • 路径(path):从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在图 9-4 中,边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
  • 度(degree):一个顶点拥有的边数。对于有向图,入度(in-degree)表示有多少条边指向该顶点,出度(out-degree)表示有多少条边从该顶点指出。

9.1.2   图的表示

图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。

1.   邻接矩阵

设图的顶点数量为 \(n\)邻接矩阵(adjacency matrix)使用一个 \(n \times n\) 大小的矩阵来表示图,每一行(列)代表一个顶点,矩阵元素代表边,用 \(1\)\(0\) 表示两个顶点之间是否存在边。

如图 9-5 所示,设邻接矩阵为 \(M\)、顶点列表为 \(V\) ,那么矩阵元素 \(M[i, j] = 1\) 表示顶点 \(V[i]\) 到顶点 \(V[j]\) 之间存在边,反之 \(M[i, j] = 0\) 表示两顶点之间无边。

图的邻接矩阵表示

图 9-5   图的邻接矩阵表示

邻接矩阵具有以下特性。

  • 顶点不能与自身相连,因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。
  • 对于无向图,两个方向的边等价,此时邻接矩阵关于主对角线对称。
  • 将邻接矩阵的元素从 \(1\)\(0\) 替换为权重,则可表示有权图。

使用邻接矩阵表示图时,我们可以直接访问矩阵元素以获取边,因此增删查改操作的效率很高,时间复杂度均为 \(O(1)\) 。然而,矩阵的空间复杂度为 \(O(n^2)\) ,内存占用较多。

2.   邻接表

邻接表(adjacency list)使用 \(n\) 个链表来表示图,链表节点表示顶点。第 \(i\) 个链表对应顶点 \(i\) ,其中存储了该顶点的所有邻接顶点(与该顶点相连的顶点)。图 9-6 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。

图的邻接表表示

图 9-6   图的邻接表表示

邻接表仅存储实际存在的边,而边的总数通常远小于 \(n^2\) ,因此它更加节省空间。然而,在邻接表中需要通过遍历链表来查找边,因此其时间效率不如邻接矩阵。

观察图 9-6 ,邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似,因此我们也可以采用类似的方法来优化效率。比如当链表较长时,可以将链表转化为 AVL 树或红黑树,从而将时间效率从 \(O(n)\) 优化至 \(O(\log n)\) ;还可以把链表转换为哈希表,从而将时间复杂度降至 \(O(1)\)

9.1.3   图的常见应用

如表 9-1 所示,许多现实系统可以用图来建模,相应的问题也可以约化为图计算问题。

表 9-1   现实生活中常见的图

顶点 图计算问题
社交网络 用户 好友关系 潜在好友推荐
地铁线路 站点 站点间的连通性 最短路线推荐
太阳系 星体 星体间的万有引力作用 行星轨道计算
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