9.3 图的遍历¶
树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。
图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种：广度优先遍历和深度优先遍历。
9.3.1 广度优先遍历¶
广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
图 9-9 图的广度优先遍历
1. 算法实现¶
BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
- 将遍历起始顶点
startVet加入队列，并开启循环。 - 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
- 循环步骤
2.，直到所有顶点被访问完毕后结束。
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希集合 visited 来记录哪些节点已被访问。
Tip
哈希集合可以看作一个只存储 key 而不存储 value 的哈希表，它可以在 \(O(1)\) 时间复杂度下进行 key 的增删查改操作。根据 key 的唯一性，哈希集合通常用于数据去重等场景。
graph_bfs.py
def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
"""广度优先遍历"""
# 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
visited = set[Vertex]([start_vet])
# 队列用于实现 BFS
que = deque[Vertex]([start_vet])
# 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while len(que) > 0:
vet = que.popleft() # 队首顶点出队
res.append(vet) # 记录访问顶点
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
if adj_vet in visited:
continue # 跳过已被访问的顶点
que.append(adj_vet) # 只入队未访问的顶点
visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问
# 返回顶点遍历序列
return res
graph_bfs.cpp
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
// 顶点遍历序列
vector<Vertex *> res;
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};
// 队列用于实现 BFS
queue<Vertex *> que;
que.push(startVet);
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (!que.empty()) {
Vertex *vet = que.front();
que.pop(); // 队首顶点出队
res.push_back(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
continue; // 跳过已被访问的顶点
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.java
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
que.offer(startVet);
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (!que.isEmpty()) {
Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
res.add(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // 跳过已被访问的顶点
que.offer(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.cs
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> GraphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
HashSet<Vertex> visited = [startVet];
// 队列用于实现 BFS
Queue<Vertex> que = new();
que.Enqueue(startVet);
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (que.Count > 0) {
Vertex vet = que.Dequeue(); // 队首顶点出队
res.Add(vet); // 记录访问顶点
foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
if (visited.Contains(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.Enqueue(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.Add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.go
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// 顶点遍历序列
res := make([]Vertex, 0)
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
visited := make(map[Vertex]struct{})
visited[startVet] = struct{}{}
// 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
queue := make([]Vertex, 0)
queue = append(queue, startVet)
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
for len(queue) > 0 {
// 队首顶点出队
vet := queue[0]
queue = queue[1:]
// 记录访问顶点
res = append(res, vet)
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// 只入队未访问的顶点
if !isExist {
queue = append(queue, adjVet)
visited[adjVet] = struct{}{}
}
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res
}
graph_bfs.swift
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
// 顶点遍历序列
var res: [Vertex] = []
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
var visited: Set<Vertex> = [startVet]
// 队列用于实现 BFS
var que: [Vertex] = [startVet]
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while !que.isEmpty {
let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队
res.append(vet) // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
continue // 跳过已被访问的顶点
}
que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res
}
graph_bfs.js
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph, startVet) {
// 顶点遍历序列
const res = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
const visited = new Set();
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
const que = [startVet];
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (que.length) {
const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.ts
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
// 顶点遍历序列
const res: Vertex[] = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
const visited: Set<Vertex> = new Set();
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
const que = [startVet];
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (que.length) {
const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.push(adjVet); // 只入队未访问
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.dart
/* 广度优先遍历 */
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = {};
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
Queue<Vertex> que = Queue();
que.add(startVet);
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (que.isNotEmpty) {
Vertex vet = que.removeFirst(); // 队首顶点出队
res.add(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
if (visited.contains(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.add(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.rs
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
// 顶点遍历序列
let mut res = vec![];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
let mut visited = HashSet::new();
visited.insert(start_vet);
// 队列用于实现 BFS
let mut que = VecDeque::new();
que.push_back(start_vet);
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while !que.is_empty() {
let vet = que.pop_front().unwrap(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.push_back(adj_vet); // 只入队未访问的顶点
visited.insert(adj_vet); // 标记该顶点已被访问
}
}
}
// 返回顶点遍历序列
res
}
graph_bfs.c
/* 节点队列结构体 */
typedef struct {
Vertex *vertices[MAX_SIZE];
int front, rear, size;
} Queue;
/* 构造函数 */
Queue *newQueue() {
Queue *q = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
q->front = q->rear = q->size = 0;
return q;
}
/* 判断队列是否为空 */
int isEmpty(Queue *q) {
return q->size == 0;
}
/* 入队操作 */
void enqueue(Queue *q, Vertex *vet) {
q->vertices[q->rear] = vet;
q->rear = (q->rear + 1) % MAX_SIZE;
q->size++;
}
/* 出队操作 */
Vertex *dequeue(Queue *q) {
Vertex *vet = q->vertices[q->front];
q->front = (q->front + 1) % MAX_SIZE;
q->size--;
return vet;
}
/* 检查顶点是否已被访问 */
int isVisited(Vertex **visited, int size, Vertex *vet) {
// 遍历查找节点，使用 O(n) 时间
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (visited[i] == vet)
return 1;
}
return 0;
}
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
void graphBFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize, Vertex **visited, int *visitedSize) {
// 队列用于实现 BFS
Queue *queue = newQueue();
enqueue(queue, startVet);
visited[(*visitedSize)++] = startVet;
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (!isEmpty(queue)) {
Vertex *vet = dequeue(queue); // 队首顶点出队
res[(*resSize)++] = vet; // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
while (node != NULL) {
// 跳过已被访问的顶点
if (!isVisited(visited, *visitedSize, node->vertex)) {
enqueue(queue, node->vertex); // 只入队未访问的顶点
visited[(*visitedSize)++] = node->vertex; // 标记该顶点已被访问
}
node = node->next;
}
}
// 释放内存
free(queue);
}
graph_bfs.kt
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fun graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): MutableList<Vertex?> {
// 顶点遍历序列
val res = mutableListOf<Vertex?>()
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
val visited = HashSet<Vertex>()
visited.add(startVet)
// 队列用于实现 BFS
val que = LinkedList<Vertex>()
que.offer(startVet)
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (!que.isEmpty()) {
val vet = que.poll() // 队首顶点出队
res.add(vet) // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
if (visited.contains(adjVet))
continue // 跳过已被访问的顶点
que.offer(adjVet) // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet) // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res
}
graph_bfs.rb
### 广度优先遍历 ###
def graph_bfs(graph, start_vet)
# 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
visited = Set.new([start_vet])
# 队列用于实现 BFS
que = [start_vet]
# 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while que.length > 0
vet = que.shift # 队首顶点出队
res << vet # 记录访问顶点
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adj_vet in graph.adj_list[vet]
next if visited.include?(adj_vet) # 跳过已被访问的顶点
que << adj_vet # 只入队未访问的顶点
visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问
end
end
# 返回顶点遍历序列
res
end
可视化运行
代码相对抽象，建议对照图 9-10 来加深理解。
图 9-10 图的广度优先遍历步骤
广度优先遍历的序列是否唯一？
不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱。以图 9-10 为例，顶点 \(1\)、\(3\) 的访问顺序可以交换，顶点 \(2\)、\(4\)、\(6\) 的访问顺序也可以任意交换。
2. 复杂度分析¶
时间复杂度：所有顶点都会入队并出队一次，使用 \(O(|V|)\) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 时间；总体使用 \(O(|V| + |E|)\) 时间。
空间复杂度：列表 res ，哈希集合 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 \(|V|\) ，使用 \(O(|V|)\) 空间。
9.3.2 深度优先遍历¶
深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。如图 9-11 所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
图 9-11 图的深度优先遍历
1. 算法实现¶
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希集合 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
graph_dfs.py
def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
"""深度优先遍历辅助函数"""
res.append(vet) # 记录访问顶点
visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adj_list[vet]:
if adjVet in visited:
continue # 跳过已被访问的顶点
# 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet)
def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
"""深度优先遍历"""
# 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
visited = set[Vertex]()
dfs(graph, visited, res, start_vet)
return res
graph_dfs.cpp
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {
res.push_back(vet); // 记录访问顶点
visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
continue; // 跳过已被访问的顶点
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
// 顶点遍历序列
vector<Vertex *> res;
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
unordered_set<Vertex *> visited;
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.java
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
res.add(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // 跳过已被访问的顶点
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.cs
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void DFS(GraphAdjList graph, HashSet<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
res.Add(vet); // 记录访问顶点
visited.Add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
if (visited.Contains(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
DFS(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> GraphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
HashSet<Vertex> visited = [];
DFS(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.go
/* 深度优先遍历辅助函数 */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
// append 操作会返回新的的引用，必须让原引用重新赋值为新slice的引用
*res = append(*res, vet)
visited[vet] = struct{}{}
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// 递归访问邻接顶点
if !isExist {
dfs(g, visited, res, adjVet)
}
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// 顶点遍历序列
res := make([]Vertex, 0)
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
visited := make(map[Vertex]struct{})
dfs(g, visited, &res, startVet)
// 返回顶点遍历序列
return res
}
graph_dfs.swift
/* 深度优先遍历辅助函数 */
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
res.append(vet) // 记录访问顶点
visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
continue // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
// 顶点遍历序列
var res: [Vertex] = []
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
var visited: Set<Vertex> = []
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
return res
}
graph_dfs.js
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function dfs(graph, visited, res, vet) {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph, startVet) {
// 顶点遍历序列
const res = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
const visited = new Set();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.ts
/* 深度优先遍历辅助函数 */
function dfs(
graph: GraphAdjList,
visited: Set<Vertex>,
res: Vertex[],
vet: Vertex
): void {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
// 顶点遍历序列
const res: Vertex[] = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
const visited: Set<Vertex> = new Set();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.dart
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(
GraphAdjList graph,
Set<Vertex> visited,
List<Vertex> res,
Vertex vet,
) {
res.add(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
if (visited.contains(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 */
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = {};
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.rs
/* 深度优先遍历辅助函数 */
fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet<Vertex>, res: &mut Vec<Vertex>, vet: Vertex) {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.insert(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adj_vet);
}
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
// 顶点遍历序列
let mut res = vec![];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
let mut visited = HashSet::new();
dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet);
res
}
graph_dfs.c
/* 检查顶点是否已被访问 */
int isVisited(Vertex **res, int size, Vertex *vet) {
// 遍历查找节点，使用 O(n) 时间
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (res[i] == vet) {
return 1;
}
}
return 0;
}
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList *graph, Vertex **res, int *resSize, Vertex *vet) {
// 记录访问顶点
res[(*resSize)++] = vet;
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
while (node != NULL) {
// 跳过已被访问的顶点
if (!isVisited(res, *resSize, node->vertex)) {
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, res, resSize, node->vertex);
}
node = node->next;
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
void graphDFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize) {
dfs(graph, res, resSize, startVet);
}
graph_dfs.kt
/* 深度优先遍历辅助函数 */
fun dfs(
graph: GraphAdjList,
visited: MutableSet<Vertex?>,
res: MutableList<Vertex?>,
vet: Vertex?
) {
res.add(vet) // 记录访问顶点
visited.add(vet) // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
if (visited.contains(adjVet))
continue // 跳过已被访问的顶点
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet)
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fun graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex?): MutableList<Vertex?> {
// 顶点遍历序列
val res = mutableListOf<Vertex?>()
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
val visited = HashSet<Vertex?>()
dfs(graph, visited, res, startVet)
return res
}
graph_dfs.rb
### 深度优先遍历辅助函数 ###
def dfs(graph, visited, res, vet)
res << vet # 记录访问顶点
visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adj_vet in graph.adj_list[vet]
next if visited.include?(adj_vet) # 跳过已被访问的顶点
# 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adj_vet)
end
end
### 深度优先遍历 ###
def graph_dfs(graph, start_vet)
# 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
visited = Set.new
dfs(graph, visited, res, start_vet)
res
end
可视化运行
深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。
- 直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
- 曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。
为了加深理解，建议将图 9-12 与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
图 9-12 图的深度优先遍历步骤
深度优先遍历的序列是否唯一？
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。
以树的遍历为例，“根 \(\rightarrow\) 左 \(\rightarrow\) 右”“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”“左 \(\rightarrow\) 右 \(\rightarrow\) 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。
2. 复杂度分析¶
时间复杂度：所有顶点都会被访问 \(1\) 次，使用 \(O(|V|)\) 时间；所有边都会被访问 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 时间；总体使用 \(O(|V| + |E|)\) 时间。
空间复杂度：列表 res ，哈希集合 visited 顶点数量最多为 \(|V|\) ，递归深度最大为 \(|V|\) ，因此使用 \(O(|V|)\) 空间。